Дискретные случайные величины |

I. определение случайной величины (св), дискретной случайной величины (дсв). закон и многоугольник распределения дсв

При бросании игральной кости могут появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Заранее определить возможные исходы невозможно, так как они зависят от многих случайных причин, которые не могут быть полностью учтены. В данном примере выпавшее число очков есть величина случайная, а числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины.

Случайная величина — величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины (кратко: СВ) обозначают большими латинскими буквами X,  Y, ..., а принимаемые ими значения — малыми буквами x_1, x_2, cdots , y_1, y_2, cdots

Из приведенного выше  примера, видно, что случайная величина Х может принять одно из следующих возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений Х. Таким образом, в этом примере СВ принимает отдельные, изолированные возможные значения.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Закон распределения ДСВ Х удобно задавать с помощью следующей таблицы

называемой рядом распределения. При этом возможные значения x_1,quad x_2, cdots СВ Х в верхней строке этой таблицы располагаются в определенном порядке, а в нижней — соответствующие вероятности p_i=P{X=x_i} quad (sum_i p_i=1).

Графически ряд распределения изображают в виде многоугольника (или полигона) распределения.

1.1. В ящике 2 нестандартные и 4 стандартные детали. Из него последовательно вынимают детали до первого появления стандартной детали. Построить ряд и многоугольник распределения ДСВ X — числа извлеченных деталей.

Решение.

Рассмотрим все возможные значения, которые может принимать случайна величина (СЛ) X:x_1=1 — первой вынули  стандартную деталь;x_2=2 — первая вынутая деталь нестандартная, вторая стандартная;x_3=3 — первая деталь нестандартная, вторая деталь нестандартная, третья деталь стандартная.Соответствующие им вероятности p_1,  p_2, p_3 найдем воспользовавшись правилом умножения вероятностей (заметьте, что события зависимы):

Тогда закон распределения дискретной случайной величины Х примет вид:

Построим многоугольник распределения, отложив на оси абсцисс (ОХ) значения ДСВ Х, а на оси ординат (ОY) соответствующие им вероятности:

1.2. В партии, содержащей 20 изделий, имеется четыре изделия с дефектами. Наудачу отобрали три изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения числа дефектных изделий, содержащихся в указанной выборке.

Решение.

X — число дефектных изделий, содержащихся в выборке.Рассмотрим все возможные значения, которые может принимать случайна величина (СЛ) X:x_1=0 — ни одно изделие выборки не является дефектным, т.е. все изделия удовлетворяют стандарту;x_2=1 — выборка содержит одно изделие с дефектом и два стандартных изделия;x_3=2 — выборка содержит два изделия с дефектом и одно стандартное изделие;x_4=3 — выборка содержит три изделия с дефектом;Найдем соответствующие им вероятности p_1,  p_2, p_3, p_4:

Тогда закон распределения дискретной случайной величины Х примет вид:

Предлагаем ознакомиться  Больничный по уходу за больным родственником: можно ли взять, на сколько дней дают, оформление и оплата

1.3. Три стрелка, ведущие огонь по цели, сделали по одному выстрелу. Вероятности их попадания в цель соответственно равны 0,5; 0,6; 0,8. Построить ряд и многоугольник  распределения СВ X — числа попаданий в цель.

Решение.

Пусть вероятности попадания для 1-го, 2-го и 3-го стрелков соответственно равны h_1=0,5;quad h_2=0,6;quad h_3=0,8, тогда вероятности их промахов равны g_1=0,5;quad g_2=0,4;quad g_3=0,2. Из предыдущих занятий должны помнить как связаны противоположные события: h_1=1-g_1.

Рассмотрим все значения, которые может принять ДСВ Х — числа попаданий в цель.

x_0=0 — ни один из стрелков не попал в цель;x_1=1 — один из стрелков попал в цель;x_2=2 — двое стрелков поразили цель;x_3=3 — три стрелка поразили цель.Найдем соответствующие им вероятности p_0, p_1, p_2, p_3:Запись вида h_1 cdot g_2 cdot g_3 означает, что 1-й стрелок попал, два других промахнулись, аналогичные рассуждения применимы к другим слагаемым.p_2=P{X=2}=h_1 cdot h_2 cdot g_3 g_1 cdot h_2 cdot h_3  h_1 cdot g_2 cdot h_3=\ =0,5cdot 0,6 cdot 0,2 0,5cdot 0,6 cdot 0,8 0,5cdot 0,4 cdot 0,8=0,06 0,24 0,16=0,46p_3=P{X=3}=h_1 cdot h_2 cdot h_3=0,5cdot 0,6 cdot 0,8=0,24 — (три стрелка поразили цель).Контроль: sum_{i=0}^3=0,04 0,26 0,46 0,24=1

Многоугольник распределения:

Ii. операции над дискретными случайными величинами

Суммой (соответственно, разностью или произведением) ДСВ Х, принимающей значения x_i с вероятностями p_i=P{X=x_i}, quad i=1,2, ... , n и ДСВ Y, принимающей значения y_j с вероятностями q_j=P{Y=y_j}, quad j=1,2, ... , m называется ДСВ, принимающая все значения вида x_i y_j (соответственно, x_i-y_j или x_icdot y_j) с вероятностями p_{ij}=P{{X=x_i}cdot {Y=y_j}}=P{X=x_i,quad Y=y_j}.Обозначение: X Y (соответственно, X-Y или Xcdot Y).Произведением ДСВ Х на число c называется ДСВ  cX, принимающая значения cx_i с вероятностями p_i=P{X=x_i}.Квадратом (соответственно, m-ой степенью) ДСВ Х называется ДСВ, принимающая значения x_i^2 (соответственно, x_i^m) с вероятностями p_i=P{X=x_i}. Обозначение: X^2 (соответственно, X^m).Дискретные СВ Х и Y называются независимыми, если независимы события {X=x_i} и {Y=y_j} при любых i=1, 2, 3, ... , n, quad j=1, 2, ..., m.

2.1. Задано распределение ДСВ Х

Построить ряд распределения случайных величин:

Решение.

Возможные значения СВ Y таковы:

Вероятности этих значений равны вероятностям соответствующих значений СВ Х (например, P{X=-4}=P{X=-2}=0,20 и т. д.). Таким образом

б) Значения СВ Z таковы: 

При этом 

 и т. д. Поэтому ряд распределения СВ Z имеет вид

2.2. Дискретная случайная величина Х имеет ряд распределения:

Построить:

а) ряд распределения СВ Y=sin(X-frac{pi}{4});

б) График функции распределения СВ Y

Решение.

а) Вычисляем все значения y_i СВ Y,  подставляя соответствующие значения x_i в формулу Y=sin(X-frac{pi}{4}):

Составим вспомогательную таблицу ряда распределения:

Составим ряд распределения.

При этом

Т. е. записываем значения ДСВ Y в таблицу в порядке возрастания. При одинаковых значениях ДСВ соответствующие вероятности складываем.

Итак, получаем

б) Самостоятельно.

2.3. Заданы распределения двух независимых случайных величин X и Y:

Найти:

а) функцию распределения СВ Х;

б) ряд распределения случайных величин Z=X Y,  quad W=X-Y, quad V=X cdot Y;в) P(|X-Y|le 2);

г) построить многоугольники распределения СВ Z ,W и V.

Решение.

а) Найдите функцию распределения СВ Х самостоятельно.

б) Найдем всевозможные значения z_{ij}=x_{i} y_{j}, т. е. просуммируем все значения, которые принимает ДСВ Х, со всеми значениями ДСВ Y.

Предлагаю сделать это так, первое значение ДСВ Х сложить  последовательно с каждым значением ДСВ Y, потом то же самое проделать со вторым значением ДСВ Х и с третьим. Все операции показаны в таблице ниже.

0 2=2 1 2=3 2 2=4
0 3=3 1 3=4 2 3=5
0 4=4 1 4=5 2 4=6

Т. е. случайная величина Z принимает значения:

Найдем вероятности этих значений:

Запись вида P{X=0,Y=2} означает вероятность наступления 2-х независимых событий {X=0} и {Y=2}, т. е.Для нахождения вероятностей p_2, quad p_3, quad p_4 воспользуемся правилом сложения несовместных событий:Запишем ряд распределения ДСВ Z

Сделаем проверку:

Предлагаем ознакомиться  Как взять ребенка под опеку, как оформить опекунство

Многоугольник распределения СВ Z представлен ниже:

Далее рассмотрим ДСВ W=X-YНайдем всевозможные значения w_{ij}=x_{i}-y_{j}.

Все вычисления сведены в  таблицу ниже.

0-2=-2 1-2=-1 2-2=0
0-3=-3 1-3=-2 2-3=-1
0-4=-4 1-4=-3 2-4=-2

Таким образом случайная величина W принимает значения:

Замечание. Как вы видите, я выписал для удобства все значения СДВ W в порядке возрастания, так как при составления ряда распределения их (значения случайной величины) нужно располагать по возрастанию.

Найдем вероятности этих значений:

Запишем ряд распределения ДСВ WСделаем проверку: sum_{i=1}^{5} p_{i}=0,08 0,22 0,34 0,24 0,12=1

Многоугольник распределения СВ W представлен ниже:

По аналогии с предыдущими пунктами найдем все значения ДСВ V :  v_{ij}=x_{i}cdot y_{j}.  Все вычисления сведены в  таблицу ниже.

0·2=0 1·2=2 2·2=4
0·3=0 1·3=3 2·3=6
0·4=0 1·4=4 2·4=8

Таким образом случайная величина V принимает значения: 

Найдем вероятности этих значений:

Запишем ряд распределения ДСВ VСделаем проверку: sum_{i=1}^{5} p_{i}=0,2 0,12 0,12 0,28 0,12 0,16=1

Многоугольник распределения СВ V представлен ниже:

в) Найдем  P{|X-Y| le 2}. Пусть M=|X-Y|.Построим ряд распределения ДСВ М, используя абсолютные величины значений ДСВ W=X-Y, иными словами возьмем по модулю все значения ДСВ W, например, m_1=|w_1|=|-4|=4.

Получим ряд

Найдем вероятности всех значений ДСВ М, которые меньше, либо равны 2

Список использованной литературы:

  1. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике, 2 курс [Текст]/ К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А. Шевченко, Е.Д. Куланин; под редакцией С.Н. Федина.7-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 592с.
  2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]/ В.Е. Гмурман, 12-е изд., перераб. — М.: Высшее образование, Юрайт-Издат, 2009. — 479с.

Вычисление дисперсии

Наряду с формулой (4.10) часто используют и формулу (4.14). В развернутом виде для дискретной случайной величины Числовые характеристики дискретной случайной величины законом распределения (4.9) она выглядит следующим образом:

Математическое ожидание произведения

Доказанная в предыдущем пункте формула (4.4) наводит на мысль о возможности аналогичной формулы для случайной величины Числовые характеристики дискретной случайной величиныОднако формула (4.6) в общем случае неверна; чтобы в этом убедиться, достаточно взять в качестве Числовые характеристики дискретной случайной величины случайную величину с законом распределения: Числовые характеристики дискретной случайной величиныТогда Числовые характеристики дискретной случайной величины будет постоянной величиной 1 и равенствоЧисловые характеристики дискретной случайной величины выполняться не будет Числовые характеристики дискретной случайной величиныДокажем, что если случайные величины Числовые характеристики дискретной случайной величины независимы, то формула (4.6) справедлива. Теорема 4.2. Если случайные величины Числовые характеристики дискретной случайной величины независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий, т. е.Эту важную теорему часто называют теоремой умножения математических ожиданий. Доказательство. Возможные значения Числовые характеристики дискретной случайной величины обозначим, как и ранее, Числовые характеристики дискретной случайной величины возможные значения Числовые характеристики дискретной случайной величины

Применив такие же рассуждения, как при выводе формулы (4.4), получим равенство

где Числовые характеристики дискретной случайной величины есть вероятность события Числовые характеристики дискретной случайной величиныВвиду независимости величин Числовые характеристики дискретной случайной величины имеем:

Обозначив

Числовые характеристики дискретной случайной величины перепишем равенство (4.7) в виде

Итак,

Преобразуя полученное равенство, будем иметь: Числовые характеристики дискретной случайной величины

что и требовалось получить.

Математическое ожидание суммы

Наиболее существенным из всех свойств математического ожидания является следующий факт, который часто называют теоремой сложения математических ожиданий.

Теорема 4.1. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий

Предлагаем ознакомиться  Протокол качества на конструкции резервуара

Доказательство. Пусть закон распределения системы Числовые характеристики дискретной случайной величины выражается таблицей Числовые характеристики дискретной случайной величиныгде Числовые характеристики дискретной случайной величины возможные значения величины Числовые характеристики дискретной случайной величины возможные значения Числовые характеристики дискретной случайной величины а Числовые характеристики дискретной случайной величины Закон распределения величины Числовые характеристики дискретной случайной величины будет выражаться таблицей Числовые характеристики дискретной случайной величиныгде Числовые характеристики дискретной случайной величины причем в случае одинаковых сумм Числовые характеристики дискретной случайной величины соответствующие столбцы нужно объединить в один, сложив записанные в них вероятности. Отсюда ясно, что для Числовые характеристики дискретной случайной величины будем иметь равенство

Перепишем формулу (4.5) следующим образом:

Первую сумму правой части можно представить в виде

Выражение Числовые характеристики дискретной случайной величины или подробнее Числовые характеристики дискретной случайной величины есть вероятность того, что наступит какое-либо

из событий

т.е. в конечном счете, что Числовые характеристики дискретной случайной величины примет значение Числовые характеристики дискретной случайной величины безотносительно к тому, какое значение примет Числовые характеристики дискретной случайной величины Следовательно, это выражение равно Числовые характеристики дискретной случайной величины Отсюда

Аналогично покажем, что

В итоге имеем:

что и требовалось получить.

Нетрудно видеть, что формула (4.4) обобщается на любое число слагаемых:

Числовые характеристики дискретной случайной величины Заметим, что доказанные выше свойства математического ожидания

называют обычно свойствами линейности. Оба свойства линейности можно записать в виде одной формулы:

Нормированные случайные величины

Определение. Случайная величина Числовые характеристики дискретной случайной величины называется нормированной, если ее математическое ожидание равно нулю, а дисперсия — единице:От любой случайной величины Числовые характеристики дискретной случайной величины можно перейти к нормированной случайной величине Числовые характеристики дискретной случайной величины с помощью линейного преобразования:где Числовые характеристики дискретной случайной величины математическое ожидание, а Числовые характеристики дискретной случайной величины среднее квадратичное отклонение величины Числовые характеристики дискретной случайной величины Нормированность Числовые характеристики дискретной случайной величины проверяется весьма просто:

Пример 4.1.

Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.

Решение:

Обозначим указанную случайную величину через Числовые характеристики дискретной случайной величины Ее закон распределения имеет вид: Числовые характеристики дискретной случайной величины

Отсюда

Пример 4.2.

Взнос клиента в страховую компанию составляет 10 руб., а выплата компании при наличии страхового случая 1000 руб. Вероятность страхового случая 0,009. Какую прибыль в среднем имеет компания от одного клиента?

Решение:

Пусть Числовые характеристики дискретной случайной величины— прибыль от одного клиента. Закон распределения для случайной величины Числовые характеристики дискретной случайной величины имеет вид Числовые характеристики дискретной случайной величины

Отсюда

Свойства математического ожидания

Ранее был отмечен такой факт: математическое ожидание постоянной величины равно ей самой. Добавим теперь к этому еще одно свойство:

— постоянный множитель с можно вынести за знак математического ожидания.

Для дискретной случайной величины равенство (4.3) очевидно: если Числовые характеристики дискретной случайной величины имеет закон распределения: Числовые характеристики дискретной случайной величиныто Числовые характеристики дискретной случайной величины будет иметь закон распределения: Числовые характеристики дискретной случайной величины

откуда следует:

Пример:

Пусть Числовые характеристики дискретной случайной величины число очков, выпадающих при бросании игральной кости. Распределение величиныЧисловые характеристики дискретной случайной величины дописывается таблицей: Числовые характеристики дискретной случайной величиныПо формуле (4.15), учитывая, что в данном случае Числовые характеристики дискретной случайной величины находим:

Функция распределения

Функцией распределения называют функцию F(x) , определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения x

Свойства функции распределения:

  1.  F(x) — неубывающая функция, т.е. F(x_2) ge F(x_1),  если x_2>x_1;
  2.  F(x) непрерывна слева в любой точке x, т.е. F(x-0)=F(x), quad x in R;

Функция распределения ДСВ имеет вид

где суммирование ведется по всем индексам i, для которых x_i<x.

1.4. Задан закон распределения ДСВ Х:

Найти функцию распределения и построить ее график.

Решение.

По определению функции распределения находим:

если xle -2, то F(x)=P{X<x}=0, так как значения меньше -2 ДСВ Х не принимает;если -2<xle -1, то F(x)=P{X<x}=P{X=-2}=0,1если -1<xle 0, то F(x)=P{X<x}=P{X=-2} P{X=-1}=0,1 0,2=0,3, так как X может принять значения -2 или -1если 0<xle 2, то F(x)=P{X<x}=P{X=-2} P{X=-1} P{X=0}=0,1 0,2 0,3=0,6если 2<xle 3, то F(x)=P{X<x}=P{X=-2} P{X=-1} P{X=0} P{X=2}=0,1 0,2 0,3 0,3=0,9если xge 3, то F(x)=P{X<x}=P{X=-2} P{X=-1} P{X=0} \ P{X=2} P{X=3}=0,1 0,2 0,3 0,3 0,1=1Таким образом, функция распределения F(x) имеет вид:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *